くず歯医者の恋愛経済入門10 あなたは成長する。多分ね。
今回は人的資本の考え方に、「成長率」というスパイスを加えてみます。
これまでは、年収を不変のものとして考えていました。しかし厳密には景気や業績に左右され、多少の増減がある場合がほとんどですね。ここでは一定の割合で上昇する場合を考えてみましょう。
毎年1%、年収が増えていくと仮定します。
「くず歯医者の恋愛経済入門７」と同じように、年収500万でディスカウントレート2%の公務員の現在価値（PV）を例に考えてみましょう。
この公務員の年収を毎年1%あげていくときの現在価値は以下のように表すことができます。
PV = 500万/(1+0.02)^1+500万(1+0.01)/(1+0.02)^2+500万(1+0.01)^2/(1+0.02)^3+.........
年収を示している分子の部分に、成長率の1%分を積していくだけです。
さてここで両辺に「(1+0.01)/(1+0.02)」をかけあわせ、さらに元の式からそれを引き算します。
PV = 500万/(1+0.02)^1+500万(1+0.01)/(1+0.02)^2+500万(1+0.01)^2/(1+0.02)^3+.........
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(1+0.01)/(1+0.02)PV＝500万(1+0.01)/(1+0.02)^2+500万(1+0.01)^2/(1+0.02)^3+.............
前回と同じように、右項の後ろが全部消えます。
∴ [1-(1+0.01)/(1+0.02)]PV=500万/(1+0.02)
∴ (0.02-0.01)/(1+0.02)・PV=500万/(1+0.02)
∴ PV = 500万 / (0.02 - 0.01)
∴ PV = 5億
この公務員の現在価値は5億円となりました。成長を加味すると、現在価値（人的資本）は跳ね上がることがわかります。（元々この公務員の現在価値は2億5000万円でした）*1
ここで現在価値をPV、毎年受け取るお金（キャッシュフロー）をC、ディスカウントレートをr、成長率をgとすると
PV = C / ( r - g )
というまたまた非常にシンプルな式が成り立ちます。前回のPV = C / r の強化版ですね。これが「定率成長付き永続価値の定義式」です。
ここからわかることは「現在価値(PV)は、産み出すキャッシュ( C )、産み損なうリスク( r )、産み出したキャッシュの成長率( g )の３要素で決定できる」ということです。
因みに「( r - g )」がマイナスになると、この式は全く意味のないものになります（現在価値がマイナスになるため）。しかし、ディスカウントレート( r )が成長率( g )より小さくなるということは考えなくてよいでしょう。なぜなら、どの市場も前提条件として「効率的である」とされているからです。（歪みの生じた場合はそこに利益が生まれ、それに気づいた人たちによりすぐ効率的に戻っていきます。）
次回は具体的に数字で表してみましょう。
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